2.1 в первой книжке кострикина
определение векторного (линейного) пространства, его аксиомы, следствия из них, линейная комбинация и линейная оболочка, свойства линейных оболочек (альтернативное определение линейной оболочки множества векторов), пересечение/объединение линейных оболочек
линейная (не)зависимость, свойства линейной независимости (линейная зависимость части системы векторов, линейная зависимость <=> один вектор можно выразить через остальные, добавление вектора к линейной не/зависимой системе векторов)
базис линейной оболочки, стандартный базис, единственность разложения вектора по базису, базис - наибольший линейно независимый набор векторов, существование базиса и размерность линейной оболочки (независимость от базиса и то, что размерность линейных оболочек в R^n не может быть больше n)
Векторное пространство строк. Множество $\mathbb{R}^n$ называется векторным пространством длины $n$ над $\mathbb{R}$. Элементы векторного пространства называются векторами. Векторное пространство рассматривается вместе с операциями сложения векторов (просто по-элементно) и умножения на скаляры (скаляр — в данном случае элемент $\mathbb{R}$). По сути векторы являются $1 \times n$ матрицами. Вот определения операций:
\[X + Y = (x_1 + y_1, \dots, x_n + y_n) \\ \lambda X = (\lambda x_1, \dots, \lambda x_n)\]Нулевой вектор $(0, \dots, 0)$ будет обозначаться просто как $0$.
Векторное (линейное) пространство $(\mathbb{R}, \mathbb{R}^n)$ определяется с помощью следующих аксиом:
Линейные комбинации и линейная оболочка. Вектор $X = \alpha_1 X_1 + \dots + \alpha_k X_k$ называется линейной комбинацией векторов ${X_i}$ с коэффициентами ${\alpha_i}$. Линейной оболочкой называется множество всех линейных комбинаций заданной системы векторов $X_1, \dots, X_k$ и обозначается как $\left<X_1, \dots, X_k\right>$. Очевидно, линейная оболочка замкнута относительно операций сложения векторов и умножения на скаляр.
Под $\left<S\right>$, где $S \subset \mathbb{R}^n$, подразумевается совокупность всех линейных комбинаций конечных систем векторов из $S$ (короче, берутся все возможные конечные подмножества векторов из $S$, и берётся совокупность их линейных оболочек).
Свойства линейных оболочек:
Если $V$ — линейная оболочка, то $\left< V \right> = V$ (следует из замкнутости линейных оболочек относительно сложения и умножения на скаляр).
Если $V$ — какая-то линейная оболочка, то $S \subset V \implies \left<S\right> \subset V$ (тоже следует из замкнутости относительно сложения и умножения).
Альтернативное определение линейной оболочки: $\left< S \right> = \cap_{S \subset V} V$, где $V$ — это произвольные линейные оболочки.
Пусть $X \in \left<S\right> \subset V,\, \forall V : S \subset V$, из этого следует вложенность в одну сторону (следует из предыдущего свойства). А в обратную сторону не знаю, как доказывать, но, видимо, это очевидно? Можно доказать, что пересечение линейных оболочек является линейной оболочкой: $X,Y \in \cap V \implies \alpha X + \beta Y \in \cap V,\, \forall \alpha,\beta \in \mathbb{R}$, потому что $X,Y \in V$ для каждой линейной оболочки, содержащей $S$, и линейные оболочки замкнуты относительно основных операций, так что они остаются внутри.
При этом объединение линейных оболочек в общем случае линейной оболочкой не является, потому что линейная комбинация элементов из разных линейных оболочек может вылезти куда угодно. Например, если взять линейные оболочки $U = {(\lambda,0) \mid \lambda \in \mathbb{R}}$ и $V = {(0, \lambda) \mid \lambda \in \mathbb{R}}$, то их объединение линейной оболочкой не будет: $(1,0) \in U,\,\, (0, 1) \in V$, но при этом $(1, 1) \not \in U \cup V$.
Линейная зависимость. Система векторов $X_1, \dots, X_k$ называется линейно зависимой, если найдутся $k$ одновременно не равных нулю скаляров $\alpha_1, \dots, \alpha_k$ таких, что $\alpha_1 X_1 + \dots + \alpha_k X_k = 0$. Вот это последнее равенство — это линейная зависимость векторов, и, если коэффициенты не равны нулю, то будем говорить, что эта зависимость нетривиальна.
Примеры:
Утверждения, связанные с линейной независимостью:
Система векторов с линейно зависимой подсистемой сама будет линейно зависима.
Ну, тут очевидно, достаточно выставить правильные коэффициенты в линейной комбинации для линейно зависимой подсистемы, а остальные можно просто обнулить.
Любая часть линейно независимой системы векторов линейно независима.
Если предположить обратное, то из этого будет следовать линейная зависимость всей системы.
Система векторов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы может быть выражен линейной комбинацией других.
Очевидно, если система векторов линейно зависима, то есть нетривиальная нулевая линейная комбинация:
\[\alpha_1 X_1 + \dots + \alpha_k Xk = 0,\, \alpha_j \not = 0 \\ X_j = -\frac{\alpha_1}{\alpha_j}X_1 + \dots + \widehat{X_j} + \dots -\frac{\alpha_k}{\alpha_j} X_k \\\](Вот эта запись с шапочкой означает, что $j$-ый элемент пропускается. Иначе можно было бы написать левый и правый от пропускаемого элементы, но это слишком громоздкая запись.)
Ну, и наоборот, если какой-то из векторов выражается через другие, то: либо он выражается просто как $X_k = 0 X_1 + \dots\ + \widehat{X_j} + \dots + 0X_k = 0$ — тогда система векторов будет линейно зависимой (потому что любая система, в которой есть хотя бы один нулевой вектор, будет линейно зависимой). Если же выражается нетривиально, то, ну, просто понятно всё.
Если $X_1,\dots,X_k$ линейно независимы, а $X_1,\dots,X_k,X$ линейно зависимы (просто добавили к системе ещё какой-то вектор), то $X$ выражается через линейную комбинацию векторов $X_1,\dots,X_k$.
Для доказательства достаточно рассмотреть нетривиальную линейную комбинацию:
\[\alpha_1 X_1 + \dots + \alpha_k X_k + \alpha X = 0\]Если $\alpha \not = 0$, то достаточно просто перенести $X$ направо и разделить всё выражение на $\alpha$. Если же $\alpha = 0$, то это бы означало, что и $\alpha_1 = 0, \dots,\,\alpha_k = 0$ в силу линейной независимости $X_1, \dots, X_k$, и это всё противоречит с линейной зависимостью $X_1, \dots, X_k, X$.
Если $X_1, \dots, X_k$ линейно независимы, и нельзя выразить $X_{k+1}$ через эти вот векторы $X_1, \dots, X_k$, то система векторов $X_1, \dots, X_{k+1}$ тоже будет линейно независимой.
Потому что, будь они линейно зависимой системой, то по предыдущему утверждению это бы означало, что $X_{k+1}$ выражается через остальные векторы, а это противоречит условию.
Базис. Размерность. Пусть $V$ — линейная оболочка в $\mathbb{R}^n$, тогда система векторов $X_1, \dots, X_m$ называется базисом для $V$, если она линейно независима и её линейная оболочка совпадает с $V$ (иначе говоря, является порождающей для $V$). Базис полезен тем, что через него единственным образом через линейную комбинацию выражается любой вектор из $V$. То, что оно как-то выражается, — это очевидно (по определению), а единственность следует из линейной независимости:
\[\text{Рассмотрим два разложения вектора } X \text{ по базису:} \\ X = \alpha_1 X_1 + \dots + \alpha_m X_m, \,\, X = \beta_1 X_1 + \dots + \beta_m X_m \\ (\alpha_1 - \beta_1) X_1 + \dots + (\alpha_m - \beta_m) X_m = 0 \implies \alpha_i = \beta_i,\forall i\]$\mathbb{R}^n$ — это, очевидно, тоже линейная оболочка единичных векторов. И эти единичные вектора также являются базисом $\mathbb{R}^n$ (порождающий плюс линейно независимый). ${E_{(1)}, E_{(2)},\dots, E_{(n)}}$ — стандартный базис, но базис может не быть единственным. Например, есть ещё вот такой базис:
\[E'_{(1)} = E_{(1)} \\ E'_{(2)} = E_{(1)} + E_{(2)} \\ E'_{(3)} = E_{(1)} + E_{(2)} + E_{(3)} \\ \dots\\ E'_{(n)} = E_{(1)} + \dots + E_{(n)}\](Ну, тут легко проверить то, что этот набор векторов порождающий и линейно независимый.)
Лемма. Пусть $V$ — линейная оболочка с базисом $X_1, \dots, X_m$. Тогда, если $Y_1, \dots, Y_k$ — линейно независимая система из векторов из $V$, то $m \geq k$. (То есть базис — наибольший линейно независимый набор.)
Доказательство. Для начала распишем векторы ${Y_i}$ как линейные комбинации базисных векторов:
\[Y_1 = \alpha_{11} X_1 + \alpha_{12} X_2 + \dots + \alpha_{1m} X_m\\ \dots\\ Y_k = \alpha_{k1} X_1 + \alpha_{k2} X_2 + \dots + \alpha_{km} X_m\]Будем доказывать от противного: предположим, что $k \gt m$. Составим линейную комбинацию из векторов ${Y_i}$:
\[x_1 Y_1 + \dots + x_k Y_k = [\text{раскладываем игреки по базису}] \\ = x_1(\alpha_{11} X_1 + \alpha_{12} X_2 + \dots + \alpha_{1m} X_m) + \dots + x_k (\alpha_{k1} X_1 + \alpha_{k2} X_2 + \dots + \alpha_{km} X_m)\\ = (\alpha_{11}x_1 + \dots + \alpha_{k1}x_k)X_1 + \dots + (\alpha_{1m}x_1 + \dots + \alpha_{km}x_k)X_m\]Попробуем приравнять значение этой линейной комбинации к нуль-вектору. Для этого придётся решить систему уравнений:
\[\begin{cases} \alpha_{11}x_1 + \dots + \alpha_{k1}x_k = 0\\ \dots\\ \alpha_{1m}x_1 + \dots + \alpha_{km}x_k = 0 \end{cases}\]Так как мы приняли, что $k > m$ (то есть в данном случае у нас переменных больше, чем уравнений), то это означает, что после приведения к ступенчатому виду у нас будут свободные неизвестные, которые могут принимать произвольные значения, а, значит, будет ненулевое решение . То есть мы нашли способ нетривиально обнулить $x_1 Y_1 + \dots + x_k Y_k$, что противоречит с тем, что ${Y_i}$ — линейно независимый набор векторов по условию.
Теорема. Каждая ненулевая (содержащая по крайней мере один ненулевой вектор) линейная оболочка $V \subset \mathbb{R}^n$ обладает конечным базисом. При этом все базисы оболочки $V$ состоят из одинакового числа $m \leq n$ векторов (короче, количество элементов в базисе не больше размерности R^n штуки, в которой находится линейная оболочка), и это число обозначается как $\dim V := m$ и называется размерностью линейной оболочки.
Доказательство. По условию в $V$ есть хотя бы один ненулевой вектор, обозначим его за $X_1$. Предположим, что мы нашли линейно независимую систему векторов $X_1, \dots, X_k$ (по крайней мере можно взять один единственный $X_1$, он будет линейно независим сам по себе). Если линейная оболочка выбранного набора линейно независимых векторов $\left<X_1,\dots,X_k\right>$ не совпадает с $V$, то берём $X_{k+1} : X_{k + 1} \in V,\, X_{k+1} \not \in \left< X_1, \dots, X_k \right>$. И по теореме выше набор $X_1, \dots, X_{k+1}$ тоже будет линейно независимой (добавляем к линейно независимому набору вектор, который не выражается через эти векторы).
По предыдущей лемме любой линейно независимый набор в $V$ содержит не более, чем $n$ векторов (рассматриваем линейную оболочку $\mathbb{R}^n$, в которой у нас есть стандартный базис с $n$ элементами). Так что мы не сможем бесконечно добавлять новые векторы в систему, а это означает, что, рано или поздно, она станет максимальной/порождающей. Так доказали существование базиса для линейной оболочки.
Предположим, что $Y_1, \dots, Y_s$ — ещё один базис в $V$. Тогда $s \leq m$ по предыдущей лемме, так как базис — это линейно независимая штука. И наоборот, если подставить в лемму ${X_i}$ вместо ${Y_i}$, то, получится, что $m \leq s$. Из этого следует, что $m = s$, а, значит, мы можем корректно определить размерность линейной оболочки.
Ранг системы векторов в $\mathbb{R}^n$: ${X_1, X_2,\dots}$ определяется как размерность линейной оболочки, построенной на них:
\[\text{rank} \{X_1, X_2,\dots \} := \dim\left<X_1, X_2, \dots\right>\]Размерность линейной оболочки, состоящей только из нуль-вектора принять считать равной нулю: $\dim V := 0,\,V = {0}$.